t.me/knigoprovod Отправить другу/подруге по почте ссылку на эту страницуВариант этой страницы для печатиНапишите нам!Карта сайта!Помощь. Как совершить покупку…
московское время18.06.19 02:18:21
На обложку
Фосфатонакопление в океанеавторы — Батурин Г. Н.
История антропологической мыслиавторы — Эванс-Притчард Э.
Кинетика разрушенияавторы — Микляев П. Г., Нешпор Г. С., Кудряшов В. Г.
б у к и н и с т и ч е с к и й   с а й т
Новинки«Лучшие»Доставка и ОплатаМой КнигоПроводЗаказ редких книгО сайте
Книжная Труба   поиск по словам из названия
Авторский каталог
Каталог издательств
Каталог серий
Моя Корзина
Только цены
Рыбалка
Наука и Техника
Математика
Физика
Радиоэлектроника. Электротехника
Инженерное дело
Химия
Геология
Экология
Биология
Зоология
Ботаника
Медицина
Промышленность
Металлургия
Горное дело
Сельское хозяйство
Транспорт
Архитектура. Строительство
Военная мысль
История
Персоны
Археология
Археография
Восток
Политика
Геополитика
Экономика
Реклама. Маркетинг
Философия
Религия
Социология
Психология. Педагогика
Законодательство. Право
Филология. Словари
Этнология
ИТ-книги
O'REILLY
Дизайнеру
Дом, семья, быт
Детям!
Здоровье
Искусство. Культурология
Синематограф
Альбомы
Литературоведение
Театр
Музыка
КнигоВедение
Литературные памятники
Современные тексты
Худ. литература
NoN Fiction
Природа
Путешествия
Эзотерика
Пурга
Спорт

/Наука и Техника/Математика

Математическое открытие. Решение задач: основные понятия, изучение и преподавание — Пойа Д.
Математическое открытие. Решение задач: основные понятия, изучение и преподавание
Пойа Д.
год издания — 1970, кол-во страниц — 452, тираж — 60000, язык — русский, тип обложки — твёрд. 7Б, масса книги — 480 гр., издательство — Физматлит
цена: 499.00 рубПоложить эту книгу в корзину
Сохранность книги — очень хорошая

GEORGE POLYA
Professor Emeritus of Mathematics, Stanford University

MATHEMATICAL DISCOVERY
On understanding, learning and teaching problem solving

JOHN WILEY & SONS, INC.
VOLUME I — 1962
VOLUME II — 1965

Пер. с англ. В. С. Бермана

Формат 60x90 1/16
ключевые слова — математическ, решен, задач, методолог, математик, учител, методист, педагог, учебн, геометр, герон, пифагор, планиметр, ньютон, стереометр, диофант, декарт, фибоначч, триномиал, лейбниц, паскал, бином, теорем, распознаван, блуждан, преподав, буридан

«Математическое открытие» — этими словами Дж. Пойа характеризует получение любого (сколь угодно скромного!) математического результата, например, просто решение задачи — в первую очереди посвящено методологии математики, вопросу о том, как возникают новые математические идеи; с этой точки зрения центральной в книге, видимо, надо считать гл. 7, содержащую анализ самого процесса решения задачи (процесса «математического открытия») Однако в противоположность другим схожим книгам, в этом сочинении, в значительной части адресованном учителям математики и «учителям учителей» (методистам и преподавателям педагогических учебных заведений), немало места занимают и прямые методические рекомендации (особенно частые в трёх заключительных главах книги); это связано с тем, что процесс решения задач автор анализирует в неразрывной связи с процессом обучения решению задач, так что здесь тесно увязаны два вопроса: «Как это решить?» 2) и «Как научить это решать?». Последнее обстоятельство делает книгу ценным пособием для учителя математики в средней школе и для преподавателя педагогического института. Учитывая интересы преподавателей средних школ, Дж. Пойа в этой книге (в противоположность, скажем, «Математике и правдоподобным рассуждениям» или, тем более, «Задачам и теоремам из анализа») основное внимание уделяет задачам школьного уровня, отклоняясь в область «высшей математики» лишь в редких эпизодах (выделяемых с помощью специальной системы обозначений), пропуск которых не отразится на понимании всего остального содержания книги. Наряду с этим «Математическое открытие» очень хочется рекомендовать студентам-математикам младших курсов, увлекающимся математикой школьникам-старшеклассникам и вообще всем любителям нашей древней и мудрой науки.

Специально следует сказать о сопровождающих каждую главу Упражнениях и дополнительных замечаниях. Следуя автору, мы печатаем эти разделы книги мелким шрифтом; таким образом, петитом напечатано больше половины всего объёма книги. Хочется только подчеркнуть, что употребление мелкого шрифта в этом случае отнюдь не преследует своей целью призыв считать напечатанный петитом текст второстепенным и могущим быть опущенным — оно лишь подчёркивает членение всего объёма книги на две разные по характеру (но равноправные по важности!) части. ЕСЛИ ВЫ ХОТИТЕ НАУЧИТЬСЯ ПЛАВАТЬ, ТО СМЕЛО ВХОДИТЕ В ВОДУ, А ЕСЛИ ХОТИТЕ НАУЧИТЬСЯ РЕШАТЬ ЗАДАЧИ, ТО РЕШАЙТЕ ИХ — этот совет автора хочется особенно подчёркнуть: никакие рассуждения и теории не помогут вам так, как собственный опыт, и одна самостоятельно решённая задача даст больше двадцати других, решение которых вы узнали от друзей или лрочитали в книге. По-настоящему овладеть изложенными здесь идеями можно лишь перерешав большую часть собранных в книге задач (которые опытный преподаватель Пойа перемежает замечаниями общего характера или просто анекдотами — опасность задремать за книгой читателю не угрожает!), после чего можно перейти к другим сочинениям по математике.

ОГЛАВЛЕНИЕ

От редактора9
Из предисловия автора13
Советы и указания19
Советы учителям и учителям учителей20
 
Ч А С Т Ь  П Е Р В А Я
ЧАСТНЫЕ МЕТОДЫ
 
Г л а в а   1.   Метод двух геометрических мест25
 
§ 1. Геометрические построения25
§ 2. От примера к методу26
§ 3. Примеры27
§ 4. Предположим, что задача решена29
§ 5. Метод подобия32
§ 6. Примеры33
§ 7. Метод вспомогательных фигур37
Упражнения и дополнительные замечания к главе 1 (1—54)38
[7. Обозначения. 15. Три маяка. 45. Изъян. 47. Взгляд назад. 48. Три наблюдательных пункта. 49. Замечания по поводу метода двух геометрических мест. 50. Метод трёх геометрических мест. 52. О геометрических построениях. 53. Дополнительные задачи. 54. Множества.]
 
Г л а в а   2.   Метод Декарта45
 
§ 1. Декарт и его идея об универсальном методе45
§ 2. Задачка46
§ 3. Составление уравнений50
§ 4. Школьные задачи52
§ 5. Геометрические примеры56
§ 6. Пример из физики61
§ 7. Пример из области головоломок64
§ 8. Озадачивающие примеры65
Упражнения и дополнительные замечания к главе 2 (1—87: Раздел 1, 1—16; Раздел 2, 17—87)69
[10. Аналог формулы Герона. 11. Другой аналог теоремы Пифагора. 12. Ещё один аналог теоремы Пифагора. 13. Другой аналог формулы Герона. 17. Разное. 28. Как долог был век Диофанта? 29. Египетская задача. 33. Планиметрия. 34. Ньютон о составлении уравнений при решении геометрических задач. 50. Стереометрия. 60. Неравенство. 61. Сферометр. 63. Атом углерода. 64. Фотометр. 65. График движения. 73. Число уравнений равно числу неизвестных. 74. Число уравнений больше числа неизвестных. 76. Число уравнений меньше числа неизвестных. 7 7. Диофантовы уравнения. 81. Правила Декарта. 82. Обнажите задачу и расчлените её. 83. Дополнительные сведения, необходимые для решения задачи. Мобилизация и организация. 84. Независимость и совместность. 85. Единственность решения. Взгляд вперёд. 86. Зачем нужны словесные задачи? 87. Дополнительные задачи.]
 
Г л а в а   3.   Рекурсия85
 
§ 1. История одного маленького открытия85
§ 2. Дар небес88
§ 3. И всё же оно заслуживает внимания90
§ 4. Рекурсия92
§ 5. Абракадабра94
§ 6. Треугольник Паскаля97
§ 7. Математическая индукция100
§ 8. В поисках новых подходов102
§ 9. Наблюдайте, обобщайте, доказывайте и передоказывайте по-новому 103 Упражнения и дополнительные замечания к главе 3 (1—100: Раздел 1, 1—22; Раздел 2, 23—31; Раздел 3, 32—59; Раздел 4, 60—100)106
[2. Частный случай эквивалентен общему случаю. 11. Спасение затонувшего судна. 22. Два вида математической индукции. 24. Сочетания. 39. Треугольные числа. 40. Пирамидальные числа. 43. Числа Фибоначчи. 48. Триномиальные коэффициенты. 55. Гармонический треугольник Лейбница. 56 Паскаль и Лейбниц. 60. Степенные ряды. 66. Биномиальная формула для дробных и отрицательных показателей. 70. Расширение области определения символа Crn. 76. Метод неопределённых коэффициентов. 81. Обращение степенного ряда. 87. Дифференциальные уравнения. 99. О числе π. 100. Другие задачи.]
 
Г л а в а   4.   Суперпозиция127
 
§ 1. Интерполяция127
§ 2. Частный случай130
§ 3. Решение общей задачи комбинированием частных решений131
§ 4. Метод суперпозиции132
Упражнения и дополнительные замечания к главе 4 (1—37: Раздел 1, 1—17; Раздел 2, 18—37)134
[11. Линейная комбинация или суперпозиция. 12. Однородные линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами. 14. Однородные линейные разностные уравнения с постоянными коэффициентами. 15. Числа Фибоначчи. 17. Суперпозиция движений. 18. Разнообразие подходов при решении одной задачи. 19. Что представляет собой неизвестное? 21. Вот уже решённая задача, родственная вашей. 23. Дополнительные сведения. 25. Формула объёма призматоида. 31. Никакая цепь не прочнее своего слабейшего звена. 33. Формула Симпсона. 37. Расширение области исследования.]
 
Ч А С Т Ь   В Т О Р А Я
НА ПУТИ К ОБЩЕМУ МЕТОДУ
 
Г л а в а   5.   О задачах143
 
§ 1. Что такое задача?143
§ 2. Классификация задач144
§ 3. Задачи на нахождение145
§ 4. Задачи на доказательство147
§ 5. Компоненты неизвестного, пункты условия149
§ 6. Ищем соответствующую процедуру150
Упражнения и дополнительные замечания к главе 5 (1—20)151
[8. Задача на нахождение или задача на доказательство? 9. Другие задачи. 10. Процедура решения задачи может состоять из неограниченной последовательности операций. 11. Квадратура круга. 12. Следование и следствие. 13. Неудачная терминология, двусмысленность. 14. Данные и неизвестное, условие (предпосылка) и заключение. 15. Число необходимых данных. 20. Изучая решение.]
 
Г л а в а   6.   Расширение области применения метода156
 
§ 1. Расширение области применения метода Декарта156
§ 2. Расширение области применения метода двух геометрических мест160
§ 3. С какого пункта условия следует начинать167
§ 4. Расширение области применения рекурсии171
§ 5. Последовательный охват неизвестных175
Упражнения и дополнительные замечания к главе 6 (1—27)176
[1. Условие, состоящее из многих пунктов. 9. Сохраните только часть условия. 10. Нить Ариадны. 20. Другие задачи. 21. Промежуточная цель. 22. Графическое представление. 23. Некоторые типы задач нематематического характера. 27. Более тонкая классификация.]
 
Г л а в а   7.   Геометрическое представление процесса решения184
 
§ 1. Метафоры184
§ 2. Что такое задача?185
§ 3. Есть идея!186
§ 4. Развитие идеи188
§ 5. Оформление решения190
§ 6. Замедленные кинокадры191
§ 7. Коротко о дальнейшем193
§ 8. План и программа194
§ 9. Задачи внутри задач194
§ 10. Зарождение идеи195
§ 11. Умственная работа195
§ 12. Дисциплина ума196
Упражнения и дополнительные замечания к главе 7 (1—6)196
[1. Другой подход. 4. Поиски доказательства. 5. Простейшие диаграммы. 6. Другие задачи.]
 
Г л а в а   8.   План и программа205
 
§ 1. Составление плана как метод решения задачи205
§ 2. Более общий метод207
§ 3. Программа208
§ 4. Выбор между несколькими планами209
§ 5. План и программа211
§ 6. Метод и план212
Упражнения и дополнительные замечания к главе 8 (1—8)213
[1. От конца к началу или от начала к концу? В обратном направлении или в прямом направлении? Анализ или синтез? 2. Умный начинает с конца. 4. Выбор между тремя планами. 5. Выбор между двумя планами. 6. Реальный план. 8. Не связывайте себя.]
 
Г л а в а   9.   Задачи внутри задач219
 
§ 1. Вспомогательные задачи219
§ 2. Эквивалентные задачи: двусторонняя редукция220
§ 3. Цепочки эквивалентных задач222
§ 4. Более результативные или менее результативные вспомогательные задачи; односторонняя редукция222
§ 5. Косвенные вспомогательные задачи224
§ 6. Частичная помощь, методологическая помощь, стимулирование, руководство, практика225
Упражнения и дополнительные замечания к главе 9 (1—16)227
[1. Надёжные источники вспомогательных задач? 2. Respice finem. 3. Отбрасывание или добавление пункта в условии. 4. Расширение или сужение условия. 5. Изучение более сильной или более слабой теоремы. 11. Поиски противоречащего примера. 12. Годится любое найденное решение. 13. Специализация и обобщение. 14. Аналогия. 15. А что если неудача? 16. Другие задачи.]
 
Г л а в а   10.   Зарождение идеи237
 
§ 1. Проблеск света237
§ 2. Пример237
§ 3. Характерные черты полезной идеи241
§ 4. Зависимость идеи от случая243
Упражнения и дополнительные замечания к главе 10 (1—2)244
[1. Внезапность появления идеи. Одна цитата и комментарий к ней. 2. Два эксперимента.]
 
Г л а в а   11.   Умственная работа245
 
§ 1. Как мы думаем245
§ 2. Стремление решить задачу245
§ 3. Направленность мышления246
§ 4. Близость решения246
§ 5. Предвидение247
§ 6. Область поисков248
§ 7. Промежуточные решения249
§ 8. Мобилизация и организация249
§ 9. Распознавание и вспоминание251
§ 10. Пополнение и перегруппировка251
§ 11. Изоляция и комбинация252
§ 12. Диаграмма253
§ 13. Часть подсказывает целое256
Упражнения и дополнительные замечания к главе 11 (1—11)257
[1. Ваш опыт, ваше суждение. 2. Мобилизация. 3. Прозрение. 4. Часть подсказывает целое. 5. Распознавание. 6. Перегруппировка. 7. Работа изнутри и работа извне. 8. Эвристический лабиринт. 9. Продвижение вперёд. 10. Вы такой же, как я. 11. Мыши и люди.]
 
Г л а в а   12.   Дисциплина ума261
 
§ 1. Как надо думать261
§ 2. Концентрация внимания на цели261
§ 3. Оценка перспектив263
§ 4. Блуждания: поиски подхода264
§ 5. Блуждания: может быть, есть более обнадёживающий аспект задачи?265
§ 6. Блуждания: поиски полезных сведений266
§ 7. Блуждания: может быть, ситуацию следует переоценить?267
§ 8. Искусство ставить вопросы268
Упражнения и дополнительные замечания к главе 12 (1—16)269
[1. Измените формулировку задачи. 2. Выразите задачу на языке математики. 4. Хорошо составленный и хорошо упорядоченный запас знаний. 5. При помощи каких данных можно определить подобное неизвестное? 6. Из какого условия (предпосылки) можно вывести такое заключение? 7. Сведения, относящиеся к рассматриваемому вопросу. 8. Аналогия между треугольником и тетраэдром. 12. Известна ли вам какая-нибудь родственная задача? 13. Вернитесь к определениям. 14. Исследование ближайшей окрестности. 15. Внимание и действие. 16. Продуктивное мышление, творческое мышление.]
 
Г л а в а   13.   Законы открытия?275
 
§ 1. Правила бывают разными275
§ 2. Рациональность276
§ 3. Экономия, но без предвзятости277
§ 4. Настойчивость, но и гибкость278
§ 5. Правила предпочтения279
§ 6. Части задачи280
§ 7. Полезные сведения281
§ 8. Вспомогательные задачи283
§ 9. Резюме283
Упражнения и дополнительные замечания к главе 13 (1—3)284
[1. Одарённый человек, специалист и начинающий. 2. О плодах и планах. 3. Стиль работы.]
Г л а в а   14.   Об учении, преподавании и обучении преподаванию286
 
§ 1. Преподавание — не наука286
§ 2. Цель обучения287
§ 3. Преподавание — это искусство288
§ 4. Три принципа изучения290
§ 5. Три принципа обучения292
§ 6. Примеры295
§ 7. Как учить преподаванию301
§ 8. Позиция учителя305
Упражнения и дополнительные замечания к главе 14 (1—29: Раздел 1 1—5; Раздел 2, 6—29)311
[2. Високосные годы. 6. Почему именно решение задач? 7. Решение задач и построение теории. 8. Решение задач и общая культура. 9. Язык фигур. 10. Рациональные и иррациональные числа. 11. Строгость рассуждений. 12. Может ли географическая карта быть совершенной? 13. Чему мы должны учить? 14. Генетический принцип. 15. Бесплодные словоизлияния. 16. Путаница в уровнях. 17. Айседора Дункан. 18. Уровни знания. 19. Повторение и контраст. 20. Изнутри и извне. 22. Насколько это трудно? 23. Трудность задачи и её образовательная ценность. 24. Несколько типов задач. 27. Семестровая работа. 28. О выступлениях на математических конференциях: правила Цермело. 29. Эпилог.]
 
Г л а в а   15.   Догадка и научный метод336
 
§ 1. Научно-исследовательская работа на уровне средней школы336
§ 2. Пример336
§ 3. Обсуждение338
§ 4. Ещё один пример339
§ 5. Графическое представление индуктивного рассуждения340
§ 6. Один пример из истории
§ 7. Научный метод: догадывайтесь и испытывайте350
§ 8. О некоторых чертах задач «научно-исследовательского характера»351
§ 9. Выводы352
Упражнения и дополнительные замечания к главе 15 (1—58: Раздел 1, 1—21; Раздел 2, 22—41; Раздел 3, 42—58)352
[24. Принцип Отсутствия Достаточных Основании. 25. Буриданов осёл. 40. Принцип Отсутствия Достаточных Основании в физике, или «Природа не смеет быть непредсказуемой». 41. n точек сферы. 42. Другие задачи. 45. Периодические дроби. 49. Трапецеидальные числа. 54. Ещё одно задание исследовательского характера. 58. Предлоложение и факт.]
 
Решения упражнений364
 
Приложение: Из предисловия к книге Г. Полиа и Г. Сегё «Задачи и теоремы из анализа»441
 
Библиография445
 
Указатель448

Книги на ту же тему

  1. Международные математические олимпиады: Задачи, решения, итоги: Пособие для учащихся. — 3-е изд., исправл. и доп., Морозова Е. А., Петраков И. С., 1971
  2. Московские математические олимпиады 1958—1967 г., Прасолов В. В., Голенищева-Кутузова Т. И., Канель-Белов А. Я., Кудряшов Ю. Г., Трепалин А. С., Ященко И. В., 2013
  3. Простая одержимость: Бернхард Риман и величайшая нерешённая проблема в математике, Дербишир Д., 2010
  4. Площади и логарифмы, Маркушевич А. И., 1952
  5. Симметрия в алгебре, Болтянский В. Г., Виленкин Н. Я., 1967
  6. Индукция в геометрии, Головина Л. И., Яглом И. М., 1956
  7. «Ага!» и его секреты, Сапарина Е. В., 1967
  8. Основы математического анализа. — 2-е изд., стереотип., Ильин В. А., Позняк Э. Г., 1967
  9. Сборник задач по курсу математического анализа. — 12-е изд., стереотип., Берман Г. Н., 1963
  10. Задачи и теоремы из анализа: В 2 ч. — 3-е изд. (комплект из 2 книг), Пойа Д., Сеге Г., 1978
  11. Задачи по математике для внеклассных занятий (9—10 классы), Сивашинский И. X., 1968
  12. Задачи по физике: Для учащихся 9—11 классов, абитуриентов и студентов младших курсов: Учебное пособие (комплект из 3 книг), Долгов А. Н., Муравьёв С. Е., Протасов В. П., Соболев Б. В., 2005
  13. Сборник задач по физике. — 2-е изд., перераб., Баканина Л. П., Белонучкин В. Е., Козел С. М., Колачевский Н. Н., Косоуров Г. И., Мазанько И. П., 1971
  14. Американские учёные и изобретатели, Уилсон М., 1964

Напишите нам!© 1913—2013
КнигоПровод.Ru
Рейтинг@Mail.ru btd.kinetix.ru работаем на движке KINETIX :)
elapsed time 0.027 secработаем на движке KINETIX :)