КнигоПровод.Ru29.03.2024

/Наука и Техника/Математика

Лекции по математической теории устойчивости — Демидович Б. П.
Лекции по математической теории устойчивости
Демидович Б. П.
год издания — 1967, кол-во страниц — 472, тираж — 35000, язык — русский, тип обложки — твёрд. картон, масса книги — 570 гр., издательство — Физматлит
цена: 300.00 рубПоложить эту книгу в корзину
Сохранность книги — хорошая

Формат 60x90 1/16
ключевые слова — устойчивост, дифференциальн, механико-математическ, колебан, ляпунов, матричн, жорданов, матриц, нелинейн, гамильтонов, диссипатив, l-диагональн

Систематически излагаются основы теории устойчивости решений обыкновенных дифференциальных уравнений и некоторые смежные вопросы. В дополнении излагаются основы теории почти периодических функций и их приложения к дифференциальным уравнениям. Включены дополнительные сведения к втузовскому курсу высшей математики.

Рисунков 66. Библиографических ссылок 82.


Книга представляет собой обработанный и дополненный курс лекций по теории устойчивости решений дифференциальных уравнений, читанный автором в течение ряда лет на механико-математическом факультете Московского университета. Книга в основном рассчитана на студентов физико-математических факультетов университетов и педагогических институтов, прослушавших обычный курс теории обыкновенных дифференциальных уравнений, но она будет также доступна и инженерам механического профиля, так как необходимые дополнительные сведения по математике приведены в курсе. Большое внимание обращено на точность формулировок и строгость доказательств. Механические и физические приложения затронуты незначительно; интересующийся этими вопросами читатель может обратиться к сочинениям: А. А. Андронов, А. А. Витт, Э. С. Хайкин, Теория колебаний, Физматгиз; 1959; Б. В. Булгаков, Колебания, ГИТТЛ, 1954; И. Г. Малкин, Теория устойчивости движения, ГИТТЛ, 1952; Н. Г. Четаев, Устойчивость движения, ГИТТЛ, 1946 и др.

Содержание книги посвящено классическому понятию устойчивости движения в смысле Ляпунова и некоторым связанным с ним проблемам. В основу положена матрично-векторная трактовка систем дифференциальных уравнений, в частности, широко использована жорданова форма матрицы. Это позволяет избегать излишних технических подробностей при вычислениях и более отчётливо выявлять суть дела. Решения линейных дифференциальных систем в большинстве случаев рассматриваются как комплекснозначные векторы-столбцы без перехода в действительную область; это выгодно при записи многих формул. Что касается нелинейных систем, то они, как правило, изучаются в действительной области.

Необходимые сведения по матричному исчислению приведены в первой главе и в приложении.

Чтобы не усложнять изложение техническими подробностями, в книге рассматриваются системы дифференциальных уравнений, правые части которых непрерывны (или кусочно непрерывны) относительно независимой переменной и дифференцируемы по зависимой переменной.

Первая гдава книги содержит элементы матричного исчисления. Здесь излагаются алгебра матриц и теория матричных рядов. Даётся понятие об экспоненциале и логарифме матрицы.

В главе второй изучается устойчивость линейных дифференциальных систем. Доказывается критерий Гурвица. На основе леммы Гронуолла-Беллмана исследуется устойчивость линейных систем с почти постоянной матрицей.

Глава третья посвящена первому методу Ляпунова. Проводится теория характеристических чисел функций и матриц. Рассматриваются правильные и приводимые системы, включая теоремы Ляпунова, Перрона и Еругина. Излагается теория Флоке и теорема Ляпунова-Пуанкаре для линейных гамильтоновых систем. Даётся понятие о методе малого параметра для разыскания периодических решений.

В главе четвёртой для систем в действительном пространстве изучаются основы второго метода Ляпунова. Доказываются классические теоремы Ляпунова, теорема Четаева и теорема обращения Персидского. С помощью метода функций Ляпунова устанавливаются необходимые и достаточные условия ограниченности решений дифференциальных систем (устойчивость в смысле Лагранжа). Даётся понятие о диссипативных системах.

Глава пятая содержит теоремы Красносельского-Крейна, теорему усреднения Боголюбова и асимптотику L-диагональных систем.

В дополнении изложены основные сведения по теории почти периодических функций в смысле Бора и теорема Америо для почти периодических дифференциальных систем.

В приложении даётся понятие о жордановой форме матрицы…

ПРЕДИСЛОВИЕ

ОГЛАВЛЕНИЕ

Предисловие6
Обозначения9
 
Г л а в а   I
Некоторые сведения из матричного исчисления11
 
§ 1. Арифметические действия над матрицами11
§ 2. Степень матрицы18
§ 3. Клеточные матрицы19
§ 4. Норма матрицы20
§ 5. Векторное пространство22
§ 6. Жорданова форма матрицы35
§ 7. Функции матрицы41
§ 8. Матричные ряды42
§ 9. Матричные степенные ряды44
§ 10. Тождество Кейли и формула Сильвестра48
§ 11. Производная и интеграл матрицы50
§ 12. Экспоненциал матрицы54
§ 13. Нормальная форма экспоненциала матрицы55
§ 14. Некоторые свойства экспоненциала матрицы57
§ 15. Логарифм матрицы59
Упражнение к главе I62
 
Г л а в а   II
Устойчивость линейных дифференциальных систем64
 
§ 1. Основные понятия теории устойчивости64
§ 2. Общие свойства решений линейной дифференциальной системы70
§ 3. Формула Остроградского-Лиувилля.73
§ 4. Матрицант74
§ 5. Метод вариации произвольных достоянных Лагранжа76
§ 6. Общие теоремы об устойчивости линейных дифференциальных систем78
§ 7. Устойчивость линейных однородных дифференциальных систем81
§ 8. Устойчивость линейной дифференциальной системы с постоянной
матрицей85
§ 9. Критерий Гурвица90
§ 10. Критерий Михайлова102
§ 11. Леммы Гронуолла-Беллмана и Бихари108
§ 12. Устойчивость линейной дифференциальной системы с почти
постоянной матрицей112
§ 13. Случай Лаппо-Данилевского117
Упражнения к главе II119
 
Г л а в а   III
Первый метод Ляпунова123
 
§ 1. Характеристические показатели функций123
§ 2. Характеристические показатели функциональных матриц132
§ 3. Спектр линейной однородной системы135
§ 4. Нормальные фундаментальные системы138
§ 5. Достаточное условие асимптотической устойчивости линейной
дифференциальной системы147
§ 6. Неравенство Важевского149
§ 7. Неравенство Ляпунова150
§ 8. Приводимые системы. Теорема Н. П. Еругина153
§ 9. Приводимость к системе с нулевой матрицей156
§ 10. Асимптотически эквивалентные системы159
§ 11. Правильные системы165
§ 12. Теорема Перрона168
§ 13. Правильность треугольной линейной системы174
§ 14. Теорема Перрона о триангуляции линейной системы178
§ 15. Теория Флоке183
§ 16. Приводимость периодической линейной системы188
§ 17. Нормальная форма решений линейной периодической системы190
§ 18. Приближённое вычисление мультипликаторов193
§ 19. Линейное дифференциальное уравнение второго порядка с
периодическими коэффициентами197
§ 20. Гамильтонова система дифференциальных уравнений208
§ 21. Возвратные уравнения211
§ 22. Теорема Ляпунова-Пуанкаре213
§ 23. Неоднородная периодическая система215
§ 24. Метод малого параметра222
Упражнения к главе III225
 
Г л а в а   IV
Второй метод Ляпунова234
 
§ 1. Приведённая система234
§ 2. Знакоопределённые функции235
§ 3. Первая теорема Ляпунова (теорема об устойчивости)237
§ 4. Вторая теорема Ляпунова (теорема об асимптотической
устойчивости)240
§ 5. Третья теорема Ляпунова (теорема об неустойчивости)244
§ 6. Теорема Четаева246
§ 7. Асимптотическая устойчивость в целом248
§ 8. Экспоненциальная устойчивость251
§ 9. Теорема Персидского254
§ 10. Устойчивость квазилинейных систем257
§ 11. Оценка матрицы Коши для правильной системы265
§ 12. Теорема Ляпунова об устойчивости по первому приближению266
§ 13. Признак устойчивости для нелинейных систем с неправильной
линейной частью271
§ 14. Неограниченная продолжаемость решений274
§ 15. Устойчивость по Лагранжу278
§ 16. Системы с конвергенцией281
§ 17. Диссипативные системы289
§ 18. Уравнения в вариациях293
§ 19. Орбитальная устойчивость295
§ 20. Аналог теоремы Андронова-Витта299
§ 21. Признак Пуанкаре312
§ 22. Условная устойчивость314
Упражнения к главе IV319
 
Г л а в а   V
Асимптотическое интегрирование дифференциальных уравнений324
 
§ 1. Равномерная сходимость семейства функций324
§ 2. Теорема Арцеля325
§ 3. Теорема Красносельского и Крейна328
§ 4. Теорема Н. Н. Боголюбова332
§ 5. Принцип сжатых отображений335
§ 6. Сингулярные интегральные уравнения типа Вольтерра339
§ 7. Асимптотика L-диагональных систем342
§ 8. Лемма о диагонализации переменной матрицы349
§ 9. Приведение линейной системы к L-диагональному виду353
§ 10. Теорема Боля358
Упражнения к главе V365
 
Д о п о л н е н и е
Почти периодические функции367
 
§ 1. Почти периодические функции в смысле Бора367
§ 2. Основные свойства почти периодических функций369
§ 3. Арифметические действия с почти периодическими функциями371
§ 4. Равномерно сходящаяся последовательность почти периодических
функций374
§ 5. Интеграл почти периодической функции376
§ 6. Теорема о среднем значении почти периодической функции379
§ 7. Пространство почти периодических функций387
§ 8. Неравенство Бесселя389
§ 9. Понятие о ряде Фурье почти периодической функции391
§ 10. Формальные операции над рядами Фурье почти периодических
функций395
§ 11. Свёртка почти периодической функции397
§ 12. Теорема единственности402
§ 13. Равенство Парсеваля410
§ 14. Теорема аппроксимации412
§ 15. Теорема компактности Бохнера415
§ 16. Почти периодические матрицы418
§ 17. Линейная система с постоянной матрицей и свободным почти
периодическим членом421
§ 18. Квазилинейная почти периодическая система425
§ 19. H-класс почти периодической системы428
§ 20. Ограниченные решения почти периодических систем431
§ 21. Теоремы Америо и Фавара437
Упражнения442
 
П р и л о ж е н и е.  Жорданова форма матрицы445
 
Цитированная литература466
Предметный указатель470

Книги на ту же тему

  1. Введение в теорию устойчивости движения, Меркин Д. Р., 1971
  2. Устойчивость движения (методы Ляпунова и их применение). Учебное пособие для университетов, Зубов В. И., 1973
  3. Устойчивость разностных схем, Самарский А. А., Гулин А. В., 1973
  4. Функции комплексного переменного. Операционное исчисление. Теория устойчивости. — 2-е изд., перераб. и доп., Араманович И. Г., Лунц Г. Л., Эльсгольц Л. Э., 1968
  5. Функции Ляпунова, Барбашин Е. А., 1970
  6. Дифференциально-операторные уравнения и некорректные задачи, Иванов В. К., Мельникова И. В., Филинков А. И., 1995
  7. Обратные задачи динамики, Галиуллин А. С., 1981
  8. Численные методы. — 3-е изд., доп. и перераб., Бахвалов Н. С., Жидков Н. П., Кобельков Г. М., 2004
  9. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Жёсткие и дифференциально-алгебраические задачи, Хайрер Э., Ваннер Г., 1999
  10. Численные и графические методы прикладной математики: Справочник, Фильчаков П. Ф., 1970
  11. Основные понятия вычислительной математики. — 2-е изд., Дьяченко В. Ф., 1977
  12. Численные процессы решения дифференциальных уравнений, Бабушка И., Витасек Э., Прагер М., 1969
  13. Приближённые методы решения дифференциальных и интегральных уравнений, Михлин С. Г., Смолицкий Х. Л., 1965
  14. Введение в вычислительную физику: Учебное пособие: Для вузов, Федоренко Р. П., 1994
  15. Численные методы анализа: Приближение функций, дифференциальные и интегральные уравнения, Демидович Б. П., Марон И. А., Шувалова Э. З., 1963
  16. Современные проблемы вычислительной математики и математического моделирования: в 2-х томах (комплект из 2 книг), Бахвалов Н. С., Воеводин В. В., Дымников В. П., ред., 2005
  17. Численные методы для быстродействующих вычислительных машин, Ланс Д. Н., 1962
  18. Численные методы для научных работников и инженеров. — 2-е изд., испр., Хемминг Р. В., 1972
  19. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Нежёсткие задачи, Хайрер Э., Нёрсетт С. П., Ваннер Г., 1990
  20. Сборник задач по дифференциальным уравнениям: Учебное пособие для вузов. — 6-е изд., стер., Филиппов А. Ф., 1985
  21. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений. — 7-е изд., испр., Петровский И. Г., 1984
  22. Нелинейные дифференциальные уравнения, Куфнер А., Фучик С., 1988
  23. Дифференциальные уравнения, Трикоми Ф., 1962
  24. Приложения групп Ли к дифференциальным уравнениям, Олвер П., 1989
  25. Нелинейные деформации и устойчивость тонких оболочек, Якушев В. Л., 2004
  26. Многослойные анизотропные оболочки и пластины: Изгиб, устойчивость, колебания, Андреев А. Н., Немировский Ю. В., 2001
  27. Введение в теорию нелинейных колебаний: Учебное пособие для втузов. — 2-е изд., испр., Бутенин Н. В., Неймарк Ю. И., Фуфаев Н. А., 1987
  28. Теория колебаний, Андронов А. А., Витт А. А., Хайкин С. Э., 1981
  29. Вязкопластические течения: динамический хаос, устойчивость, перемешивание, Климов Д. М., Петров А. Г., Георгиевский Д. В., 2005
  30. Разреженные матрицы, Тьюарсон Р., 1977
  31. Вычислительная линейная алгебра. Теория и приложения, Деммель Д., 2001
  32. Разрешимость и устойчивость задач полиномиального программирования, Белоусов Е. Г., Андронов В. Г., 1993

© 1913—2013 КнигоПровод.Ruhttp://knigoprovod.ru