КнигоПровод.Ru29.03.2024

/Наука и Техника/Математика

Численные процессы решения дифференциальных уравнений — Бабушка И., Витасек Э., Прагер М.
Численные процессы решения дифференциальных уравнений
Бабушка И., Витасек Э., Прагер М.
год издания — 1969, кол-во страниц — 368, язык — русский, тип обложки — твёрд. 7Б тканев., масса книги — 520 гр., издательство — Мир
цена: 499.00 рубПоложить эту книгу в корзину
Сохранность книги — хорошая

NUMERICAL PROCESSES
in
DIFFERENTIAL EQUATIONS

Ivo Babuška, Milan Práger and Emil Vitásek
PRAHA, CZECHOSLOVAKIA

1966
SNTL — PUBLISHERS OF TECHNICAL LITERATURE, PRAGUE
INTERSCIENCE PUBLISHERS
A DIVISION OF JOHN WILEY & SONS


Пер. с англ. В. Л. Каткова

Формат 60x90 1/16. Бумага для глубокой печати
ключевые слова — численн, дифференциальн, уравнен, вычислител, аппроксимац, функционал, гильбертов, квадратур, обыкновенн, разност, одношагов, рунге-кутт, краев, конечных, конечно-разностн, вариационн, частн, гаусса-зейдел, дирихл, лаплас

Книга посвящена исследованию устойчивости и оптимизации численных процессов решения дифференциальных уравнений. В отличие от монографий подобного рода в ней подробно изучаются ошибки округления при выполнении расчётов на машинах с плавающей и фиксированной запятой. Авторы развили оригинальный подход к этой проблеме и получили ряд новых интересных результатов. Многочисленные примеры иллюстрируют особенности различных алгоритмов.

Книга рассчитана на широкий круг читателей. Она будет полезна математикам-вычислителям, программистам, инженерам, использующим ЭВМ, а также всем, кто имеет дело с численным решением дифференциальных уравнений.


Эта книга, написанная в 1959 — 1964 г., представляет собой переработанное издание чешского варианта, опубликованного Государственным издательством технической литературы (Прага, 1964 г.). Толчком к её написанию послужил теоретический анализ численных решений ряда технических проблем, приводящих к обыкновенным дифференциальным уравнениям. Авторы не пытались исчерпывающе описать в этой книге численные методы и превратить книгу в справочник по алгоритмам, пригодным для использования на вычислительных машинах. Вместо этого мы выбрали некоторые аспекты численного решения дифференциальных уравнений, которые могут быть интересны в теоретическом плане и, как мы надеемся, окажутся полезными на практике.

Книга содержит много численных примеров. Они приведены не только для пояснения идей и методов, но и для иллюстрации некоторых явлений, встречающихся при численных расчётах; кроме того, эти примеры предназначены для сопоставления теоретических выводов с практическими результатами. В некоторых примерах приведены серии расчётов, полученных на различных вычислительных машинах.

Выбор материала был в большой степени обусловлен объёмом книги, а также теми целями, которые ставили перед собой авторы. Мы ограничились в основном линейными задачами (за исключением задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений). Полностью опущены проблема собственных значений и результаты, связанные с уравнениями гиперболического типа.

Ради краткости и простоты мы совсем не касались специфических явлений, встречающихся при выполнении расчётов с плавающей запятой, и сконцентрировали внимание на проблемах, которые являются общими для вычислений с плавающей и фиксированной запятой. Ссылки, относящиеся к работам этого направления, даны прямо в тексте. Предполагается, что читатель знаком с основами высшей математики; в первую очередь это относится к теории дифференциальных уравнений, а в некоторых местах используется и функциональный анализ. Практический опыт численных расчётов на вычислительных машинах у читателя может отсутствовать; если же такой опыт имеется, то он, конечно, поможет пониманию трактуемых в книге вопросов.

ИЗ ПРЕДИСЛОВИЯ
Авторы

ОГЛАВЛЕНИЕ

От редактора5
Из предисловия7
 
Глава 1. Введение9
 
§ 1.1. Оптимизация10
§ 1.2. Численная устойчивость10
§ 1.3. Возможность и надёжность11
 
Глава 2. Устойчивость численных процессов и оптимизация вычислений13
 
§ 2.1. Устойчивые и неустойчивые численные процессы13
§ 2.2. Устойчивость численных процессов20
§ 2.3. Приложения25
2.3.1. Устойчивость процесса в примере 2.2625
2.3.2. Счёт в примере 2.2а30
2.3.3. Счёт в примере 2.330
2.3.4. Счёт в примере 2.131
2.3.5. Счёт в примере 2.434
§ 2.4. Некоторые проблемы численной устойчивости36
2.4.1. Вычисления с фиксированной и плавающей запятой36
2.4.2. О максималистском и статистическом характере ошибок
    округления38
2.4.3. Практическое значение понятия αkk)-L последовательности39
2.4.4. Локальная и глобальная устойчивость41
2.4.5. Итерационные процессы и численная устойчивость46
§ 2.5. Асимптотические оценки и численная устойчивость53
2.5.1. Асимптотическая оценка погрешности численного процесса53
2.5.2. Асимптотические оценки и численная устойчивость55
§ 2.6. О некоторых проблемах оптимизации57
2.6.1. Оптимальная аппроксимация функционалов в гильбертовом
    пространстве57
2.6.2. Об оптимальной квадратурной формуле57
 
Глава 3. Задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений63
 
§ 3.1. Введение63
3.1.1. Вводные замечания63
3.1.2. Оценки ошибок65
§ 3.2. Разностные методы66
3.2.1. Общая разностная формула67
3.2.2. Сходимость разностных формул68
3.2.3. Устойчивость разностных формул76
3.2.4. Некоторые наиболее употребительные разностные формулы83
3.2.5. Пример85
3.2.6. Оптимальные разностные формулы86
§ 3.3. Общие одношаговые методы93
3.3.1. Сходимость и устойчивость общих одношаговых методов93
3.3.2. Формулы Рунге-Кутта третьей степени98
3.3.3. Формулы Рунге-Кутта четвёртой степени100
§ 3.4. Системы дифференциальных уравнений. Уравнения высших порядков106
§ 3.5. Оценки погрешности113
3.5.1. Введение113
3.5.2. Оценки погрешности метода Рунге-Кутта114
3.5.3. Асимптотические ошибки118
 
Глава 4. Краевые задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений121
 
§ 4.1. Введение121
§ 4.2. Сведение краевой задачи к задаче Коши123
4.2.1. Метод комбинации решений123
4.2.2. Простая факторизация для уравнения второго порядка125
4.2.3. Аддитивная факторизация129
4.2.4. Составная факторизация131
4.2.5. Численная устойчивость методов сведения краевых задач к
    задачам Коши134
4.2.6. Простая факторизация для уравнения четвёртого порядка136
4.2.7. Устойчивость системы уравнений, входящей в метод простой
    факторизации для уравнения четвёртого порядка137
4.2.8. Факторизация системы уравнений152
§ 4.3. Метод конечных разностей152
4.3.1. Введение152
4.3.2. О некоторых интегральных тождествах, используемых при
    решении самосопряжённых дифференциальных уравнений второго
    порядка153
4.3.3. Метод конечных разностей для самосопряжённого
    дифференциального уравнения второго порядка157
4.3.4. Другой подход к построению конечно-разностных формул164
4.3.5. Сходимость метода конечных разностей167
4.3.6. Примеры169
4.3.7. Метод конечных разностей решения самосопряжённых краевых
    задач для дифференциальных уравнений более высокого порядка174
§ 4.4. Оптимизация разностных формул для уравнений второго порядка183
4.4.1. Введение183
4.4.2. Об оптимальных конечно-разностных схемах185
4.4.3. Построение асимптотически оптимальной последовательности
    матриц187
4.4.4. Оптимальные схемы в пространстве W2(1)190
4.4.5. Некоторые основные положения теории преобразований Фурье195
4.4.6. О проблеме оптимальных конечно-разностных схем для
    бесконечных интервалов196
4.4.7. Об оптимальных схемах в пространстве W2(2)202
§ 4.5. Решение систем уравнений, возникающих в методе конечных
разностей204
4.5.1. Метод исключения Гаусса для уравнений второго порядка204
4.5.2. Метод окаймления для уравнений второго порядка221
4.5.3. Разностная аддитивная факторизация226
4.5.4. Метод исключения для дифференциальных уравнений
    четвёртого порядка228
§ 4.6. Вариационные методы236
4.6.1. О проблемах оптимальной аппроксимации236
4.6.2. Некоторые основные результаты о положительно определённых
    краевых задачах для обыкновенных дифференциальных уравнений237
4.6.3. О методе оптимальной аппроксимации в пространстве
    D(sqrt{A}, L)240
4.6.4. О применении метода оптимальной аппроксимации к одной
    конкретной задаче в пространстве D(sqrt{A}, L)242
4.6.5. О выборе оптимального базиса в пространстве
    D(sqrt{A}, L)245
4.6.6. О методе оптимальной аппроксимации в пространстве D(A, L)249
4.6.7. О другом оптимальном свойстве метода оптимальной
    аппроксимации в пространстве D(A, L)250
4.6.8. О выборе оптимального базиса в пространстве D(A, L)251
4.6.9. Заключительные замечания255
§ 4.7. Устойчивость численных процессов решения краевых задач
методом оптимальной аппроксимации255
4.7.1. Численная устойчивость методов § 4.6255
4.7.2. О некоторых основных свойствах метода исключения Гаусса260
4.7.3. Численно оптимальные системы координатных функций235
 
Глава 5. Краевые задачи для дифференциальных уравнений с частными
производными эллиптического типа271
 
§ 5.1. Введение271
§ 5.2. Метод конечных разностей274
5.2.1. Введение274
5.2.2. О конечно-разностном методе для самосопряжённого
    уравнения второго порядка в случае квадратной сетки274
5.2.3. О конечно-разностных методах для самосопряжённого
    уравнения второго порядка в случае треугольной сетки279
5.2.4. О простейшей формулировке краевых условий Дирихле для
    уравнения второго порядка281
5.2.5. Другие формулировки краевого условия Дирихле284
5.2.6. О формулировке краевых условий общего вида290
5.2.7. О сходимости конечно-разностных методов294
5.2.8. Конечно-разностные методы решения самосопряжённых краевых
    задач для уравнений более высокого порядка296
§ 5.3. Решение конечно-разностных уравнений, соответствующих
дифференциальным уравнениям второго порядка300
5.3.1. Введение300
5.3.2. Метод исключения301
5.3.3. Итерационные методы303
5.3.4. Итерационный метод Якоби307
5.3.5. Итерации Гаусса-Зейделя и верхняя релаксация312
§ 5.4. Вариационные методы решения краевых задач318
5.4.1. О проблеме оптимальной аппроксимации318
5.4.2. О решении задачи Дирихле для уравнения Лапласа методом
    оптимальной аппроксимации в D(sqrt{A}, L)318
5.4.3. Метод Канторовича319
 
Глава 6. Дифференциальные уравнения с частными производными
параболического типа321
 
§ 6.1. Конечно-разностный метод для одномерных задач321
6.1.1. Разностные уравнения321
6.1.2. Сходимость метода конечных разностей327
6.1.3. Некоторые вопросы численной устойчивости337
§ 6.2. Конечно-разностные методы для двумерных задач345
6.2.1. Построение, сходимость и численная устойчивость некоторых
    простых формул345
6.2.2. Методы переменных направлений351
 
Библиография354
Именной указатель359
Предметный указатель361

Книги на ту же тему

  1. Основные понятия вычислительной математики. — 2-е изд., Дьяченко В. Ф., 1977
  2. Современные численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений, Холл Д., Уатт Д., ред., 1979
  3. Вычислительные методы решения прикладных граничных задач, На Ц., 1982
  4. Введение в численные методы решения дифференциальных уравнений, Ортега Д., Пул У., 1986
  5. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений. — 7-е изд., испр., Петровский И. Г., 1984
  6. Дифференциальные уравнения, Трикоми Ф., 1962
  7. Уравнения математической физики. — 7-е изд., Тихонов А. Н., Самарский А. А., 2004
  8. Приближённые методы решения дифференциальных и интегральных уравнений, Михлин С. Г., Смолицкий Х. Л., 1965
  9. Численные методы анализа: Приближение функций, дифференциальные и интегральные уравнения, Демидович Б. П., Марон И. А., Шувалова Э. З., 1963
  10. Численные методы для научных работников и инженеров, Хемминг Р. В., 1968
  11. Приложения групп Ли к дифференциальным уравнениям, Олвер П., 1989
  12. Численные методы для быстродействующих вычислительных машин, Ланс Д. Н., 1962
  13. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Жёсткие и дифференциально-алгебраические задачи, Хайрер Э., Ваннер Г., 1999
  14. Численные методы. — 3-е изд., доп. и перераб., Бахвалов Н. С., Жидков Н. П., Кобельков Г. М., 2004
  15. Численные методы расчёта одномерных систем, Воеводин А. Ф., Шугрин С. М., 1981
  16. Вычислительные методы в физике, Поттер Д., 1975
  17. Введение в вычислительную физику: Учебное пособие: Для вузов, Федоренко Р. П., 1994
  18. Численное решение задач гидромеханики, Рихтмайер Р., ред., 1977
  19. Уравнения математической физики. Решение задач в системе Maple. Учебник для вузов, Голоскоков Д. П., 2004
  20. Нелинейные дифференциальные уравнения, Куфнер А., Фучик С., 1988
  21. Комплексный метод ВКБ в нелинейных уравнениях, Маслов В. П., 1977
  22. Уравнения с частными производными, Берс Л., Джон Ф., Шехтер М., 1966
  23. Сборник задач по дифференциальным уравнениям: Учебное пособие для вузов. — 6-е изд., стер., Филиппов А. Ф., 1985
  24. Устойчивость движения (методы Ляпунова и их применение). Учебное пособие для университетов, Зубов В. И., 1973
  25. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Нежёсткие задачи, Хайрер Э., Нёрсетт С. П., Ваннер Г., 1990
  26. Метод конечных элементов для уравнений с частными производными, Митчелл Э., Уэйт Р., 1981
  27. Оптимальное управление дифференциальными и функциональными уравнениями, Варга Д., 1977
  28. Дифференциальные уравнения математических моделей нелокальных процессов, Нахушева В. А., 2006
  29. Дифференциально-операторные уравнения и некорректные задачи, Иванов В. К., Мельникова И. В., Филинков А. И., 1995
  30. Задачи для ультрагиперболических уравнений в полупространстве, Костомаров Д. П., 2006
  31. Краевые задачи в областях с мелкозернистой границей, Марченко В. А., Хруслов Е. Я., 1974
  32. Локальные свойства решений уравнения переноса, Гермогенова Т. А., 1986
  33. Случайные поля и стохастические уравнения с частными производными, Розанов Ю. А., 1995
  34. Стохастические дифференциальные уравнения. Введение в теорию и приложения, Оксендаль Б., 2003

© 1913—2013 КнигоПровод.Ruhttp://knigoprovod.ru