Несмотря на сравнительно небольшой объём, книга охватывает все разделы курса дифференциальной геометрии для математических специальностей университетов и пединститутов. Она отличается безупречностью изложения, содержит чёткие и ясные доказательства, богато снабжена упражнениями и задачами повышенной трудности.

Книга является одним из лучших учебных руководств по курсу дифференциальной геометрии для университетов и пединститутов.

Дифференциальная геометрия — это часть математики, которая изучает геометрические образы, в первую очередь кривые и поверхности, а также семейства кривых и поверхностей методами анализа бесконечно малых. Характерным для дифференциальной геометрии является то, что она изучает прежде всего свойства кривых и поверхностей «в малом», т. е. свойства сколь угодно малых кусков кривых и поверхностей.

Дифференциальная геометрия возникла и развивалась в тесной связи с анализом, который сам в значительной степени вырос из задач геометрии. Многие геометрические понятия предшествовали соответствующим понятиям анализа. Так, например, понятие касательной предшествовало понятию производной, понятие площади и объёма — понятию интеграла.

Возникновение дифференциальной геометрии относится к первой половине XVIII века и связано с именами Л. Эйлера и Г. Монжа. Первое сводное сочинение по теории поверхностей было написано Монжем («Приложение анализа к геометрии», 1795 г.).

В 1827 г. Гаусс опубликовал работу «Общее исследование о кривых поверхностях», которой заложил основы теории поверхностей в её современном виде. С тех пор дифференциальная геометрия перестала быть только приложением анализа и заняла самостоятельное место в математике.

Открытие Н. И. Лобачевским неевклидовой геометрии сыграло огромную роль в развитии всей геометрии, в том числе и дифференциальной. Так, в 1854 г. Б. Риман своей лекцией «О гипотезах, лежащих в основаниях геометрии» заложил основы так называемой римановой геометрии, которая в применении к многомерным многообразиям находится в таком же отношении к геометрии n-мерного евклидова пространства, как внутренняя геометрия произвольной поверхности к евклидовой геометрии на плоскости.

Теоретико-групповая точка зрения Ф. Клейна, изложенная в его «Эрлангенской программе» (1872 г.), в применении к дифференциальной геометрии была развита Э. Картаном, построившим теорию пространств проективной и аффинной связности.

В России школу дифференциальной геометрии создали Ф. Миндинг и К. М. Петерсон, основные исследования которых посвящены вопросам изгибания поверхностей. Эти исследования были продолжены в работах многих русских и советских геометров.

В основу настоящей книги положены лекции автора по дифференциальной геометрии на физико-математическом факультете Харьковского университета. Автор преследовал цель дать строгое изложение основ дифференциальной геометрии и типичных для неё методов исследования, не нарушая при этом значительно установившихся традиций. Большой фактический материал по дифференциальной геометрии вынесен в упражнения и задачи, решение которых является обязательным условием при подготовке студентов-геометров.

ВВЕДЕНИЕ

Книги на ту же тему

1. Наглядная геометрия. — 3-е изд., Гильберт Д., Кон-Фоссен С., 1981
2. Дифференциальная геометрия и топология. Дополнительные главы, Фоменко А. Т., 1983
3. Элементы дифференциальной геометрии и топологии: Учебник для университетов, Новиков С. П., Фоменко А. Т., 1987
4. Топологические вариационные задачи, Фоменко А. Т., 1984
5. Первые понятия топологии: Геометрия отображений отрезков, кривых, окружностей и кругов, Стинрод Н., Чинн У., 1967
6. Дифференциальная топология: Начальный курс, Милнор Д., Уоллес А., 1972
7. Введение в теорию римановых поверхностей, Спрингер Д., 1960
8. Симметрические пространства, Лоос О., 1985
9. Калибровочная теория дислокаций и дисклинаций, Кадич А., Эделен Д., 1987
10. Квантовая теория поля и топология, Шварц А. С., 1989
11. Симметрии, топология и резонансы в гамильтоновой механике, Козлов В. В., 1995