КнигоПровод.Ru13.12.2019

/Наука и Техника/Математика

Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Нежёсткие задачи — Хайрер Э., Нёрсетт С. П., Ваннер Г.
Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Нежёсткие задачи
Научное издание
Хайрер Э., Нёрсетт С. П., Ваннер Г.
год издания — 1990, кол-во страниц — 512, ISBN — 5-03-001179-X, 3-540-17145-2, тираж — 14000, язык — русский, тип обложки — твёрд. 7Б, масса книги — 580 гр., издательство — Мир
цена: 1000.00 рубПоложить эту книгу в корзину
Сохранность книги — хорошая

E. Hairer, S. P. Nørsett, G. Wanner

SOLVING ORDINARY DIFFERENTIAL EQUATIONS I
Nonstiff Problems


Springer-Verlag 1987

Пер. с англ. И. А. Кульчицкой и С. С. Филиппова

Формат 60x90 1/16. Бумага офсетная №2. Печать офсетная
ключевые слова — дифференциальн, численн, фортран, адамс, рунге-кутт, вариацион, фурь, вронск, лиувилл, остроградск, ляпунов, устойчивост, нелинейн, штурма-лиув, аттрактор, бифуркац, хопф, фейгенбаум, бутчер, асимптот, нюстрем, интегро-дифф, многошаг, сходимост

Книга известных математиков (Швейцария, Норвегия), дающая картину современного состояния теории и практики численного решения обыкновенных дифференциальных уравнений. Изложены основные теоретические результаты, приведены наиболее употребительные численные методы, дано большое число примеров практических применений в физике и прикладных науках. Представлены тексты программ на Фортране.

Для математиков-прикладников и всех, кто в своей работе встречается с решением дифференциальных уравнений, для аспирантов и студентов вузов.


Первые численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений изобрели ещё Ньютон и Эйлер. К началу XX века были уже известны ставшие теперь классическими методы Адамса и Рунге-Кутты. Текущий период характерен бурным развитием вычислительной техники и усиленным применением ЭВМ и численных методов для решения резко расширяющегося круга задач. Изменение требований породило новую волну конструирования и исследования численных методов интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений, не ослабевшую и сегодня. Ранее известные методы были детально изучены и обобщены, построены новые классы методов, созданы методы, ориентированные на решение задач со специальными свойствами, например, так называемых жёстких систем. Большой прогресс достигнут и в разработке удобных для пользователей, эффективных и надёжных программ.

За последние 20—25 лет этим вопросам посвящено огромное число журнальных публикаций, множество монографий, как узкоспециальных, так и общего характера, а также учебных пособий (некоторые из них включены авторами в список литературы в конце книги). Однако почти все они изданы за рубежом. На русский язык были переведены лишь рассчитанная на математиков-профессионалов монография Штеттера (1973) и сборник обзорных лекций, прочитанных на летней школе в Англии (редакторы Холл и Уатт (1976)), да ещё две-три книги по весьма частным вопросам. Важнейшие сведения о численных методах решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений можно, конечно, найти в любом учебном пособии по численным методам. Но систематического и доступного широкому кругу читателей изложения названных выше вопросов на русском языке до сих пор не было.

Предлагаемая вниманию читателей книга призвана восполнить этот пробел. Написана она специалистами, которые внесли значительный вклад в развитие излагаемых в книге вопросов и имеют большой педагогический опыт. Книга доступна студентам университетов и других вузов, специализирующимся в области прикладной математики, и она, несомненно, будет полезна широкому кругу специалистов, работающих в области численных методов, а также всем лицам, занимающимся приложением этих методов.

Предисловие к русскому изданию
Н. С. Бахвалов

ОГЛАВЛЕНИЕ

Предисловие и русскому изданию5
Предисловие6
 
Глава I. Классическая математическая теория8
 
I.1. Терминология9
I.2. Наиболее ранние дифференциальные уравнения11
Ньютон11
Лейбниц12
Вариационное исчисление13
Клеро15
I.3. Уравнения, разрешимые в квадратурах и элементарных
функциях16
Уравнение с разделяющимися переменными16
Неоднородное линейное уравнение16
Уравнения в полных дифференциалах16
Уравнения второго порядка17
Упражнения18
I.4. Линейные дифференциальные уравнения21
Уравнения с постоянными коэффициентами21
Вариация постоянных23
Упражнения24
I.6. Уравнения со слабыми особенностями25
Линейные уравнения26
Нелинейные уравнения28
Упражнения29
I.6. Системы уравнений31
Лагранж31
Фурье34
Упражнения35
I.7. Общая теорема существования37
Сходимость метода Эйлера38
Теорема существования Пеано43
Упражнения46
I.8. Теория существования решения, основанная на итерационных
методах и рядах Тейлора47
Метод последовательных приближений Пикара48
Метод рядов Тейлора49
Доказательство сходимости50
Рекурсивное вычисление коэффициентов ряда Тейлора51
Упражнения53
I.9. Теория существования решения для систем уравнений55
Векторные обозначения56
Подчинённые матричные нормы58
Последовательные приближения Пикара для систем58
Упражнения59
I.10. Дифференциальные неравенства60
Введение60
Фундаментальные теоремы61
Оценки с использованием односторонних условий Липшица64
Упражнения67
I.11. Системы линейных дифференциальных уравнений69
Матрица Вронского (вронскиан)70
Тождество Абеля-Лиувилля-Якоби-Остроградского71
Неоднородные линейные уравнения72
Упражнения72
I.12. Системы с постоянными коэффициентами75
Линеаризация75
Приведение к диагональному виду76
Разложение Шура76
Численные расчёты78
Каноническая форма Жордана80
Геометрическое представление83
Упражнения85
I.13. Устойчивость88
Введение88
Критерий Рауса-Гурвица89
Вопросы численной реализации93
Функции Ляпунова94
Устойчивость нелинейных систем96
Устойчивость неавтономных систем97
Упражнения98
I.14. Производные по параметрам и начальным значениям102
Производная по параметру10З
Производные по начальным значениям105
Нелинейная формула вариации постоянных106
Упражнения108
I.15. Краевые задачи и задачи на собственные значения109
Краевые задачи109
Задачи Штурма-Лиувилля на собственные значения111
Упражнения114
I.16. Периодические решения, предельные циклы, странные
аттракторы115
Доказательство существования116
Стационарные приближения при ε117
Асимптотические решения при малых ε118
Химические реакции120
Предельные циклы в системах больших размерностей,
бифуркация Хопфа121
Странные аттракторы125
Каскады Фейгенбаума129
Упражнения131
 
Глава II. Методы Рунге-Кутты и экстраполяционные методы134
 
II.1. Первые методы Рунге-Кутты137
Метод Эйлера для решения начальной задачи137
Общая формулировка методов Рунге-Кутты139
Обсуждение методов порядка 4140
«Оптимальные» формулы144
Численный пример145
Упражнения147
II.2. Условия порядка для методов Рунге-Кутты150
Производные точного решения152
Условия для порядка 3152
Деревья и элементарные дифференциалы153
Разложение Тейлора для точного решения157
Формула Фаа ди Бруно158
Производные численного решения159
Условия порядка162
Упражнения163
II.З. Оценка погрешности и сходимость методов Рунге-Кутты166
Строгие оценки погрешности166
Главный член погрешности168
Оценка глобальной погрешности169
Упражнения173
II.4. Практическая оценка погрешности и выбор длины шага175
Экстраполяция по Ричардсону175
Автоматическое управление длиной шага177
Вложение формулы Рунге-Кутты178
Формула Дормана и Принса182
Численное исследование механизма управления длиной
шага183
Численное сравнение методов 4-го порядка185
Упражнения187
II.5. Дальнейшие вопросы практических вычислений188
Плотная выдача188
Непрерывные вложенные формулы191
«Неявная» выдача192
Уравнения с разрывными производными192
Длина начального шага194
Численное определение производных по начальным условиям
и параметрам195
Упражнения196
II.6. Явные методы Рунге-Кутты высших порядков198
Барьеры Бутчера198
Шестистадийные процессы пятого порядка200
Семистадийные процессы шестого порядка202
Дальнейшие барьеры Бутчера202
Формула десятого порядка203
Вложенные формулы высоких порядков206
Численный пример209
Упражнения211
II.7. Неявные методы Рунге-Кутты212
Введение212
Существование численного решения214
Методы Кунцмана и Бутчера порядка 2s217
НРК-методы, основанные на квадратурной формуле Лобатто219
НРК как коллокационные методы220
Упражнения224
II.8. Асимптотическое разложение глобальной погрешности226
Локальная погрешность226
Глобальная погрешность226
Примеры228
Переменная длина шага229
Отрицательные значения h229
Свойства присоединённого метода230
Симметричные методы232
Упражнения232
II.9. Экстраполяционные методы234
Определение методы234
Алгоритм Эйткена-Невилла237
Рациональная экстраполяция237
Вычислительный пример237
Экстраполяция с помощью симметричных методов238
Метод Грэгга, или ГБШ239
Сглаживающий шаг241
Вычислительный алгоритм и пример242
Асимптотическое разложение для нечётных индексов243
Существование явных методов Рунге-Кутты произвольного
порядка243
Управление порядком и длиной шага244
Численное исследование комбинированного управления
длиной шага и порядком247
Упражнения248
II.10. Сравнение вычислительных качеств252
Результаты расчётов255
Пример с негладким решением256
Заключение257
II.11. Композиция B-рядов258
Композиция методов Рунге-Кутты258
B-ряды259
Условия порядка для методов Рунге-Кутты263
«Эффектный порядок» Бутчера264
Упражнения265
II.12. Методы, использующие старшие произврдные266
Коллокационные методы267
Методы Фельберга270
Общая теория условий порядка272
Упражнения274
II.13. Численные методы для дифференциальных уравнений второго
порядка276
Методы Нюстрема277
Производные точного решения279
Производные численного решения282
Условия порядка284
О конструировании методов Нюстрема285
Глобальная сходимость287
Программная реализация методов Нюстрема288
Численные эксперименты290
Система высших порядков292
Упражнения292
II.14. P-ряды для разделяющихся обыкновенных дифференциальных
уравнений294
Производные точного решения; P-деревья295
P-ряды299
Методы Рунге-Кутты с нарушением условия (1.9)300
Методы Фельберна301
Методы Нюстрема302
Упражнения303
II.15. Дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом304
Существование304
Методы с постоянной длиной шага для постоянного запаздывания306
Методы с переменной длиной шага308
Характеристические значения экспоненциальных решений309
Устойчивость31С
Пример из динамики популяций311
Моделирование эпидемии313
Пример из кинетики ферментативных реакций315
Одна математическая модель в иммунологии317
Интегро-дифференциальные уравнения318
Упражнения319
 
Глава III. Многошаговые методы и общие линейные методы322
 
III.1. Классические линейные многошаговые формулы323
Явные методы Адамса324
Неявные методы Адамса325
Рекуррентные соотношения для γi327
Явные методы Нютрема328
Методы Милна-Симпсона329
Методы, основанные на дифференцировании330
Упражнения332
III.2. Локальная погрешность и условия порядка334
Локальная погрешность многошагового метода334
Порядок многошагового метода336
Константа погрешности многошаговых методов338
Неприводимые методы340
Ядро Пеано многошаговых методов341
Упражнения343
III.З. Устойчивость и первый барьер Далквиста345
Устойчивость формул дифференцирования назад347
Наивысший достижимый порядок устойчивых многошаговых
методов351
Упражнения355
III.4. Сходимость многошаговых методов359
Представление в виде одношагового метода361
Доказательство сходимости363
Упражнения365
III.5. Многошаговые методы с переменным шагом366
Методы Адамса с переменным шагом366
Рекуррентные соотношения для gi(n), Фj(n) и Ф*j(n)368
Формулы дифференцирования назад с переменным шагом369
Многошаговые методы общего вида с переменным шагом и их
порядок согласованности370
Устойчивость371
Сходимость376
Упражнения378
III.6. Методы Нордсика379
Эквивалентность многошаговым методом382
Неявные методы Адамса387
ФДН-методы388
Упражнения389
III.7. Реализация и численное сравнение390
Выбор шага и порядка390
Некоторые распространённые программы392
Сравнение численных результатов396
Уравнения в частных производных399
III.8. Общие линейные методы403
Общая процедура интегрирования404
Примеры метода (8.4)404
Устойчивость и порядок409
Сходимость412
Условия порядка для общих линейных методов415
Построение общих линейных методов417
Упражнения419
III.9. Асимптотическое разложение глобальной погрешности421
Поучительный пример421
Асимптотическое разложение для сильно устойчивых
методов (8.4)423
Слабо устойчивые методы428
Сопряжённый метод431
Симметричные методы434
Упражнения435
III.10. Многошаговые методы для дифференциальных уравнений
второго порядка437
Первые методы438
Задача Штермера439
Методы более высокого порядка441
Общая формулировка443
Условия устойчивости444
Одношаговое представление метода (10.19)444
Согласованность и сходимость446
Асимптотическая формула для глобальной погрешности447
Порядковый барьер для устойчивых методов (10.19)449
Погрешности округления449
Упражнения450
 
Приложение. Программы на Фортране452
 
Литература473
Дополнительная литература492
Указатель обозначений493
Предметный указатель495

Книги на ту же тему

  1. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Жёсткие и дифференциально-алгебраические задачи, Хайрер Э., Ваннер Г., 1999
  2. Введение в численные методы решения дифференциальных уравнений, Ортега Д., Пул У., 1986
  3. Современные численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений, Холл Д., Уатт Д., ред., 1979
  4. Численные методы для научных работников и инженеров, Хемминг Р. В., 1968
  5. Приближённые методы решения дифференциальных и интегральных уравнений, Михлин С. Г., Смолицкий Х. Л., 1965
  6. Вычислительные методы решения прикладных граничных задач, На Ц., 1982
  7. Фундаментальные основы математического моделирования, Макаров И. М., ред., 1997
  8. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. — 4-е изд., испр., Камке Э., 1971
  9. Обыкновенные дифференциальные уравнения, Федорюк М. В., 1980
  10. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений. — 5-е изд., доп., Петровский И. Г., 1964
  11. Асимптотические методы для линейных обыкновенных дифференциальных уравнений, Федорюк М. В., 1983
  12. Качественная теория дифференциальных уравнений, Немыцкий В. В., Степанов В. В., 1947
  13. Устойчивость движения (методы Ляпунова и их применение). Учебное пособие для университетов, Зубов В. И., 1973
  14. Обратные задачи динамики, Галиуллин А. С., 1981

© 1913—2013 КнигоПровод.Ruhttp://www.knigoprovod.ru