КнигоПровод.Ru29.03.2024

/Наука и Техника/Математика

Прикладной функциональный анализ — Балакришнан А. В.
Прикладной функциональный анализ
Балакришнан А. В.
год издания — 1980, кол-во страниц — 384, тираж — 10000, язык — русский, тип обложки — твёрд. 7Б, масса книги — 470 гр., издательство — Физматлит
цена: 500.00 рубПоложить эту книгу в корзину
Сохранность книги — очень хорошая

A. V. Balakrishnan
APPLIED
FUNCTIONAL ANALYSIS

SPRINGER-VERLAG, 1976

Пер. с англ. В. И. Благодатских

Формат 60x90 1/16. Бумага типографская №1. Печать высокая
ключевые слова — функциональн, управлен, оптимизац, вольтерр, гильберт, полугрупп, оператор, выпукл, программирован, стохастическ, ортогональн, рисс, банах, минковск, минимакс, фаркаш, голоморф, дифференциальн, вероятностн, радона-никодим

В предлагаемой книге излагаются элементы функционального анализа и некоторые его приложения к задачам, возникающим при управлении и оптимизации. В настоящее время в математике довольно отчётливо проявляется тенденция к проблемам, так или иначе связанным с приложениями; с другой стороны, значительно усложнились математические модели, описывающие процессы в экономике и естествознании. Эти тенденции, безусловно, связаны с развитием и расширением возможностей вычислительных машин. Настоящая книга отражает эти тенденции и носит вводный характер. Рассматриваемые здесь вопросы функционального анализа весьма существенны для подготовки высококвалифицированных специалистов как в области теории систем, так и в области математической экономики. В настоящее время имеется ряд превосходных курсов функционального анализа. Тем не менее, обширность предлагаемого материала порождает ряд трудностей для желающих ознакомится с предметом с точки зрения его приложений. Далее, применение ряда результатов функционального анализа к конкретным проблемам связано со значительными усилиями ввиду их высокого уровня общности. Эти обстоятельства побудили меня ограничиться рассмотрением лишь гильбертовых пространств и довольно детально рассмотреть такие специальные темы как вольтерровы операторы, операторы Гильберта-Шмидта, диссипативные компактные полугруппы и теоремы факторизации для положительно определённых линейных операторов. При этом с целью сохранения разумного объёма книги мы ограничились лишь теми разделами функционального анализа, которые имеют первостепенное значение для приложений.

Далее, следует иметь в виду, что абстрактная теория зачастую более проста, нежели её приложения к конкретным ситуациям. Это замечание касается теории полугрупп операторов, в которой, например, теоремы о порождении полугрупп довольно просты в их абстрактном варианте; однако доказать, что конкретное уравнение в частных производных порождает полугруппу операторов, далеко не просто. И действительно, начинающего читателя озадачат нескончаемые вариации при рассмотрении краевых задач и при определении граничного значения функций. Здесь я предпринял ряд попыток проиллюстрировать на конкретных примерах отношение абстрактной теории к задачам из области уравнений в частных производных; при этом полученные результаты ни в коей мере не претендуют на какую-либо завершённость.

Из шести глав книги только три имеют непосредственное отношение к приложениям — это глава 2, где рассмотрены выпуклые множества и выпуклое программирование в гильбертовых пространствах, глава 5, посвящённая детерминированным задачам управления, и глава 6, в которой рассматриваются проблемы стохастического управления. Глава 6 необычна тем, что в ней используется теория конечно-аддитивных мер на гильбертовых пространствах (вместо более привычной меры Винера на пространстве непрерывных функций). Эта глава содержит оригинальный материал. Остальные главы (примерно две трети книги) посвящены функциональному анализу и теории полугрупп операторов в рамках гильбертовых пространств. Основные свойства гильбертовых пространств и некоторые фундаментальные теоремы, играющие центральную роль в дальнейших рассмотрениях, приведены в главе 1. Приведённых в главе 1 сведений вполне достаточно, чтобы рассмотреть задачи выпуклого программирования (глава 2). От главы 1 можно сразу перейти к изучению главы 3, в которой изложена теория линейных операторов в гильбертовых пространствах. В этой же главе, рассматривая примеры неограниченных операторов, изучаются понятия L2-производной в смысле распределений и пространства Соболева. Здесь же рассматриваются операторы над сепарабельными гильбертовыми пространствами и пространство квадратично-суммируемых функций со значениями в гильбертовом пространстве. Заключительный параграф главы 3 посвящён нелинейным операторам, точнее полиномиальным и аналитическим операторным функциям. В главе 4 изучаются полугруппы линейных операторов, причём особое внимание уделяется специальным классам полугрупп, таким как компактные полугруппы и полугруппы Гильберта-Шмидта. Теория полугрупп операторов доставляет пример разумного уровня общности, поскольку она позволяет рассмотреть довольно широкий класс проблем оптимизации, включающий в себя, в частности, и системы, описываемые уравнениями в частных производных, с учётом их специфики. Весьма важные в теории систем понятия управляемости и наблюдаемости рассматриваются с точки зрения полугрупп операторов. Общие положения теории иллюстрируются на примере неоднородной краевой задачи. В заключительном параграфе изучаются эволюционные уравнения специального вида — они получаются возмущением уравнения, определяющего полугруппу операторов.

Предлагаемая книга является переработанным и дополненным вариантом книги автора «Введение в теорию оптимизации в гильбертовом пространстве» (Изд-во «Мир», Москва, 1974, пер. с англ.) и основана на курсе лекций, прочитанных автором в отделениях математики и системных наук. Для понимания книги достаточно владения стандартным курсом анализа вещественной и комплексной переменных и иметь понятие о преобразовании Фурье. Весьма полезным также является знакомство с основными функциональными пространствами (обычно их рассмотрение включается в курсы современного анализа), поскольку знания только определений, которые приводятся в книге, явно недостаточно для глубокого понимания предмета. Точно так же весьма желательным является знакомство с основными задачами оптимального управления…

ПРЕДИСЛОВИЕ
А. Балакришнан

ОГЛАВЛЕНИЕ

Предисловие5
 
Г л а в а   1.  ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ГИЛЬБЕРТОВЫХ ПРОСТРАНСТВ7
 
1.0. Введение7
1.1. Основные определения8
1.2. Примеры гильбертовых пространств12
1.3. Операции над гильбертовыми пространствами13
1.4. Выпуклые множества и проекции16
1.5. Ортогональность и ортонормированные базисы23
1.6. Линейные непрерывные функционалы29
1.7. Теорема Рисса о представлении30
1.8. Слабая сходимость36
1.9. Нелинейные функционалы и обобщённые кривые45
1.10. Теорема Хана-Банаха53
 
Г л а в а   2.  ВЫПУКЛЫЕ МНОЖЕСТВА И ВЫПУКЛОЕ
ПРОГРАММИРОВАНИЕ54
 
2.0. Введение54
2.1. Элементарные понятия54
2.2. Опорный функционал выпуклого множества56
2.3. Функционал Минковского59
2.4. Опорное отображение63
2.5. Теорема отделимости64
2.6. Приложение к выпуклому программированию68
2.7. Обобщение на случай бесконечного множества ограничений71
2.8. Основной результат теории игр: теорема о минимаксе74
2.9. Приложение: теорема Фаркаша79
 
Г л а в а   3.  ФУНКЦИИ, ПРЕОБРАЗОВАНИЯ, ОПЕРАТОРЫ83
 
3.0. Введение83
3.1. Линейные операторы и их сопряжённые84
3.2. Спектральная теория операторов106
3.3. Спектральная теория компактных операторов119
3.4. Операторы на сепарабельных гильбертовых пространствах127
3.5. L2-пространства над гильбертовыми пространствами172
3.6. Полилинейные формы188
 
Г л а в а   4. ПОЛУГРУППЫ ЛИНЕЙНЫХ ОПЕРАТОРОВ207
 
4.0. Введение207
4.1. Определения и основные свойства полугрупп208
4.2. Построение полугруппы по её инфинитезимальному
производящему оператору216
4.3. Полугруппы над гильбертовыми пространствами. Диссипативные
полугруппы219
4.4. Компактные операторы222
4 5 Аналитические (голоморфные) полугруппы230
4.6. Элементарные примеры полугрупп235
4.7. Расширения операторов245
4.8. Дифференциальные уравнения: задача Коши253
4.9. Управляемость260
4.10. Приведение пространства состояний. Наблюдаемость264
4.11. Граничное управление: пример269
4.12. Эволюционные уравнения276
 
Г л а в а   5. ТЕОРИЯ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ283
 
5 1 Предварительные сведения284
5.2. Проблема линейного квадратического регулятора286
5.3. Проблема линейного квадратического регулятора в случае
бесконечного интервала времени292
5 4 Жёсткие ограничения298
5.5. Финальное управление303
5.6. Задача оптимального быстродействия308
 
Г л а в а   6. ВЕРОЯТНОСТНЫЕ МЕРЫ НА ГИЛЬБЕРТОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ314
 
6.1. Предварительные сведения315
6 2. Меры на цилиндрических множествах318
6.3. Характеристические функции и свойство счётной аддитивности329
6.4. Случайные величины в слабом смысле330
6.5. Случайные величины338
6.6. Белый шум340
6.7. Дифференциальные системы341
6.8. Задача фильтрации345
6.9. Стохастическое управление356
6.10. Стохастические интегралы366
6.11. Произвольные Радона-Никодима374
 
Литература380
Предметный указатель382

Книги на ту же тему

  1. Элементы линейной алгебры и линейного программирования, Карпелевич Ф. И., Садовский Л. Е., 1963
  2. Математическое программирование: Методы решения производственных и транспортных задач, Рейнфельд Н., Фогель У., 1960
  3. Оптимальные решения в экономике, Канторович Л. В., Горстко А. Б., 1972
  4. Линейное программирование: Пособие для экономистов, Габр Я., 1960
  5. Экономико-математические методы. Вып. III: Экономико-математические модели народного хозяйства, 1966
  6. Функциональный анализ, Рудин У., 1975
  7. Функциональный анализ, Иосида К., 1967

© 1913—2013 КнигоПровод.Ruhttp://knigoprovod.ru